Bài 1. Dãy số

\(\begin{array}{l}{u_n} \le 2 \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{n} \le 2\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{n} - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1 - 2n}}{n} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - n + 1}}{n} \le 0\\Do\,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Khẳng định trên là đúng

Ta có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2} + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{n^2} + 2}}} \right) < \frac{1}{2}\).

Ta lại có: \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} > 0\]

Do đó \(0 < {u_n} < \frac{1}{2}\).

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

a)    Cách xác định mỗi số hạng của dãy số:

(1) : Liệt kê

(2) : Nêu cách xác định của mỗi số hạng trong dãy số

(3) : Nêu số hạng tổng quát

(4) : Truy hồi

b)    Dãy số có thể cho bằng những cách sau:

-        Liệt kê số hạng của dãy số

-        Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

-        Cho công thức của số hạng tổng quát

-        Truy hồi

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} - \frac{1}{{{3^n}}} = - \frac{2}{3}.\frac{1}{{{3^n}}} < 0\)

Suy ra \(u_{n+1}< u_n\).

Vậy dãy số giảm.

Ta có: \({u_3} = \frac{{3 - 3}}{{3.3 + 1}} = 0\);

\({u_{333}} = \frac{{333 - 3}}{{3.333 + 1}} = 0,33\).

Dãy số dưới dạng khai triển là: \({u_1} = - \frac{1}{2};{u_2} = - \frac{1}{7};{u_3} = 0,{u_4} = \frac{1}{{13}};...;{u_n} = \frac{{n - 3}}{{3.n + 1}};...\)

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: \(u_1=1^2=1;u_2=2^2=4;u_3=3^2=9;u_4=4^2=16;u_5=5^2=25\).

Số hạng tổng quát của dãy số un là \(u_n=n^2\) với n ∈ ℕ.

b) Dạng khai triển của dãy số \(u_1=1,u_2=4,u_3=9,u_4=16,...u_n=n^2\) ...

Số hạng đầu của khai triển là u1 = u(1) = 13 = 1.

Số hạng cuối của khai triển là u5 = u(5) = 53 = 125.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.

Các số chỉ quãng đường vật chuyển động được lần lượt: 20, 40, 60, 80, 100

\(\frac{1}{{{n_1}}};\frac{1}{{{n_2}}};...;\frac{1}{{{n_n}}};...\)\(\)

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = {n^2} + 2n + 1 - {n^2} = 2n + 1\)

Do \(n \in \mathbb{N}* \Rightarrow 2n + 1 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\)