Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

a) Số mũ cao nhất của hàm số là 2, suy ra biểu thức\(f\left( x \right)\)đã cho là đa thức bậc hai

b) Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right)\) ta có:

\(f\left( 2 \right) =  - {2^2} + 2 + 3 = 1 > 0\)

Suy ra \(f\left( 2 \right)\) dương.

a) Biểu thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai

          \(f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 1 - 1 = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) dương tại \(x = 1\)

b) Biểu thức \(g\left( x \right) =  - {x^4} + 2{x^2} + 1\) không phải là một tam thức bậc hai

c) Biểu thức \(h\left( x \right) =  - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\) là một tam thức bậc hai

          \(h\left( 1 \right) =  - {1^2} + \sqrt 2 .1 - 3 = \sqrt 2  - 4 < 0\) nên \(h\left( x \right)\) âm tại \(x = 1\)

a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 2\) có \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9\)

\(\Delta  > 0\), do đó \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là

          \({x_1} = \frac{{5 + \sqrt 9 }}{4} = 2\) và \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt 9 }}{4} = \frac{1}{2}\)

b) Tam thức bậc hai \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 6x - 9\) có \(\Delta  = {6^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\)

\(\Delta  = 0\), do đó \(g\left( x \right)\)có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 6}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 3\)

c) Tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 9\) có \(\Delta  = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.4.9 =  - 128\)

\(\Delta  < 0\), do đó \(h\left( x \right)\) vô nghiệm

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho vô nghiệm

          Biệt thức \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) =  - 4 < 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

          Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 1\)

Biệt thức \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

          Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

c) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} =  - 1;{x_2} = 3\)

Biệt thức \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).3 = 16 > 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành khi  \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\)

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 1,3} \right)\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\)

d) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số bậc hai đã cho vô nghiệm

Biệt thức \(\Delta  = {6^2} - 4.1.10 =  - 4 < 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

e) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - 3\)

Biệt thức \(\Delta  = {6^2} - 4.1.9 = 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

          Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

g) ) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} =  - 4;{x_2} =  - 2\)

Biệt thức \(\Delta  = {6^2} - 4.1.8 = 4 > 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

Đồ thị nằm trên trục hoành khi  \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 4, - 2} \right)\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\)

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta  = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng

 \(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 8 < 0\) và \(a =  - 1 < 0\)

Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(h\left( x \right) =  - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) có \(\Delta  = 1,{2^2} - 4.\left( { - 0,006} \right).\left( { - 30} \right) = \frac{{18}}{{25}} > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 100 - 50\sqrt 2 ;{x_2} = 100 + 50\sqrt 2 \) và \(a =  - 0,006 < 0\)

Ta có bảng xét dấu \(h\left( x \right)\) như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu là khoảng cách từ \(100 - 50\sqrt 2 \)(m) đến \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) (cách từ O), vòm vòm cầu thấp hơn mặt cầu là khoảng cách từ O đến\(100 - 50\sqrt 2 \)(m) và từ \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) đến 200 (m) (cách từ O)

a) Đa thức \(4{x^2} + 3x + 1\) là tam thức bậc hai

b) Đa thức \({x^3} + 3{x^2} - 1\) không là tam thức bậc hai

c) Đa thức \(2{x^2} + 4x - 1\) là tam thức bậc hai

a) Ta có: \(a = m + 1\)

Để đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m + 1 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow m \ne  - 1\)

Vậy khi \(m \ne  - 1\) thì đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\)là tam thức bậc hai

b) Ta có: \(a = 2\)

Để đa thức \(m{x^3} + 2{x^2} - x + m\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m = 0\)

Vậy khi \(m = 0\) thì đa thức \(m{x^3} + 2{x^2} - x + m\)là tam thức bậc hai

c) Ta có \(a =  - 5\)

Hệ số c không ảnh hưởng đến tam thức bậc hai

Vậy đa thức \( - 5{x^2} + 2x - m + 1\) là tam thức bậc hai với mọi m

a) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 1,5x - 1\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 2;{x_2} = \frac{1}{2}\)

\(\)\(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2,\frac{1}{2}} \right)\)

Ta có bảng xét dấu như sau

b) Tam thức \(g\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) vô nghiệm, \(g\left( x \right) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có bảng xét dấu như sau

c) Tam thức \(h\left( x \right) =  - 9{x^2} - 12x - 4\) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \frac{2}{3}\) và \(h\left( x \right) < 0\forall x \ne  - \frac{2}{3}\)

Ta có bảng xét dấu như sau

d) Tam thức \(f\left( x \right) =  - 0,5{x^2} + 3x - 6\) vô nghiệm và \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

e) Tam thức \(g\left( x \right) =  - {x^2} - 0,5x + 3\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 2,{x_2} = \frac{3}{2}\)

\(g\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - 2,\frac{3}{2}} \right)\) và \(g\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}, + \infty } \right)\)

Ta có bảng xét dấu như

g) Tam thức \(h\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt 2 x + 2\) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \sqrt 2 \)

\(h\left( x \right) > 0\forall x \ne  - \sqrt 2 \)

Ta có bảng xét dấu như sau

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 4x + 2\) có \(\Delta  = 0\), có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} =  - 1\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương với mọi \(x \ne  - 1\)

b) \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 2x + 21\) có \(\Delta  = 256 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{7}{3};{x_2} = 3\)

và \(a =  - 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương với \(x \in \left( { - \frac{7}{3};3} \right)\) và âm khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{7}{3}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

c) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + x - 2\) có \(\Delta  =  - 15 < 0\), tam thức vô nghiệm

và \(a =  - 2 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

d) \(f\left( x \right) =  - 4x\left( {x + 3} \right) - 9 =  - 4{x^2} - 12x - 9\) có \(\Delta  = 0\), tam thức có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \frac{3}{2}\) và \(a =  - 4 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \ne  - \frac{3}{2}\)

e) \(f\left( x \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 2{x^2} - x - 15\) có \(\Delta  = 121 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - \frac{5}{2};{x_2} = 3\) và có \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với \(x \in \left( { - \frac{5}{2};3} \right)\) và dương khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)