$5. Phương trình đường tròn

Đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 7} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - {\rm{ }}1{\rm{ }};--4} \right)\) thuộc đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 25\) là: \(\left( { - 1 - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( { - 4 + 7} \right)\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4x + 3y + 8 = 0\)  

a) Do \({1^2} + {\left( { - 1} \right)^2} >  - 7\) nên \({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0\) là phương trình đường tròn

b) Vì \({4^2} + {\left( { - 1} \right)^2} < 20\) nên \({x^2} + {y^2} - 8x + 2y + 20 = 0\)không là phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn tâm I  bán kính \(IA = \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) là:

\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 13\)

a) Do \(\Delta \) là pháp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \({M_o}\) nên \(\Delta \) vuông góc với \(I{M_o}\). Vậy \(\overrightarrow {I{M_o}} \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

b) Tọa độ \(\overrightarrow {I{M_o}}  = \left( {{x_o} - a;{y_o} - b} \right)\)

c) Đường thẳng \(\Delta \)đi qua điểm \({M_o}\)và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {I{M_o}} \)là: \(\left( {{x_o} - a} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + \left( {{y_o} - b} \right)\left( {y - {y_o}} \right) = 0\) 

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì \({\left( { - k} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} > 6k - 1 \Leftrightarrow {k^2} + 4 - 6k + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k < 1\\k > 5\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {y^2} - 2by + {b^2} - {R^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} - {R^2} = c} \right)\end{array}\)

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) đến điểm \(M\left( {3;4} \right)\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:

\(OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

b) Với hai điểm I(a; b) và M(x ; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có:\(IM = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} \)

Người đó chuyển động theo quỹ đạo đường tròn nên để xác định phương trình quỹ đạo chuyển động của người đó ta cần phải lập phương trình đường tròn.

a) Mối liên hệ giữa x và y là: \({x^2} + {y^2} = 5\)

b) Mối liên hệ giữa x và y là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {3; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}\)