Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
$3x^2+\frac{3}{4}\geq 3x$
$x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}\geq 3\sqrt[3]{x^2.\frac{1}{8x}.\frac{1}{8x}}=\frac{3}{4}$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{4x}+\frac{3}{4}\geq 3x+\frac{3}{4}$
$\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{4x}\geq 3x$
$\Rightarrow M=4x^2+\frac{1}{4x}-3x+2011\geq 2011$
Vậy $M_{\min}=2011$ khi $x=\frac{1}{2}$
Với x < 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = \(4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2011\)
Với x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M=4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2011\)
với x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x+2012}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(Q=\frac{3x^2-4x+6}{x^2+1}\)
Đề 1:2012-2013
Bài 2: Cho hàm số y = ( m- 2)x +1 (Với m $\neq$ 2_)
a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 4
b) Với điều kiện nào của m thì hàm số đã cho đồng biến
Bài 3: Cho biểu thức: P= \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{10\sqrt{x}}{x-25}-\frac{5}{\sqrt{x}+5}\) (Với x ≥ 0; x ≠ 25)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 9
c) Tìm x để P < \(\frac{1}{3}\)
Bài 5: Với x> 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = \(4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2012\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=\(\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}+\frac{4x\sqrt{x}+4x}{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}\)
Bài 1 :Cho 2 số dương x,y thỏa mãn điều kiện \(x+y\le1\). Chứng minh\(x^2-\frac{3}{4x}-\frac{x}{y}\le\frac{-9}{4}\)
Bài 2 : Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn điều kiện x+y\(\ge1\)và x>0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=y^2+\frac{8x^2+y}{4x}\)
bài 3: cho 3 số dương x,y,z thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
a) với x>=1 tìm giá trị nhỏ nhất của 3x+1/2x
b)với x>-1 tìm giá trị nhỏ nhất của B=3x/2 + 1/(x+1)
c) với x>1/2 tìm giá trị nhỏ nhất của C=x/3 + 5/(2x-1)
d) với x>0 tìm giá trị nhỏ nhất của D=(x^2+4x+4)/x
cho x,y>0 thoả mãn xy=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{12}{4x+3y}\)