a) Gọi d∈ƯC(2n+1; 4n+3)
⇒2n+1⋮d và 4n+3⋮d
Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta được
2n+1-(4n+3)⋮d
hay 2n+1-4n-3⋮d
⇔-2n-2⋮d
hay -2(n-1)⋮d
⇔d∈Ư(-2)
hay d∈{1;2;-2;-1}(1)
Ta có: 2n+1; 4n+3 là số lẻ
nên 2n+1\(⋮̸\pm2\)và 4n+3\(⋮̸\pm2\)
Do đó: d=1
hay ƯC(2n+1; 4n+3)=1
Do đó: \(A=\frac{2n+1}{4n+3}\) là phân số tối giản ∀n
b) Gọi e∈ƯC(4n+1; 12n+7)
⇒4n+1⋮e và 12n+7⋮e
⇒4n+1+12n+7⋮e
hay 16n+8⋮e
⇔8(2n+1)⋮e
⇔e∈Ư(8)
⇔e∈{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8}
Ta có: 4n+1 và 12n+7 là các số lẻ
⇔4n+1\(⋮̸\)2 và 12n+7\(⋮̸\)2
⇔4n+1\(⋮̸\)4 và 12n+7\(⋮̸\)4
⇔4n+1\(⋮̸\)8 và 12n+7\(⋮̸\)8
⇔e=1
hay ƯC(4n+1; 12n+7)=1
Do đó: \(\frac{4n+1}{12n+7}\) là phân số tối giản ∀n
c) Gọi f là ƯC(7n+4; 9n+5)
⇔7n+4⋮f và 9n+5⋮f
⇔9(7n+4)⋮f và 7(9n+5)⋮f
⇔63n+36⋮f và 63n+35⋮f
⇔63n+36-63n-35⋮f
hay 1⋮f
⇔f∈Ư(1)
hay f=1
⇔ƯC(7n+4;9n+5)=1
⇔\(\frac{7n+4}{9n+5}\) là phân số tối giản ∀n