Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MA,MB(A,B là các tiếp điểm),MO cắt AB tại H.Kẻ đường kính AC
a.Chứng minh:MO // BC
b.MC cắt đường tròn tại D.Chứng minh MH.MO = MC.MD
c.Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với BC cắt MB tại N.Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d.MO cắt đường tròn tại I.Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
a: Xét (O) có
MA là tiếp tuyến
MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB
hay OM⊥AB(3)
Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại B
=>AB⊥BC(4)
Từ (3) và (4) suy ra MO//BC
b: Xét (O) có
ΔADC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔADC vuông tại D
Xét ΔMAC vuông tại A có AD là đường cao
nên \(MD\cdot MC=MA^2\left(5\right)\)
Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) suy ra \(MD\cdot MC=MH\cdot MO\)
c: Gọi E là giao điểm của ON và CB
=>ON⊥BC tại E
Xét (O) có
OE là một phần đường kính
BC là dây
OE⊥BC tại E
Do đó: E là trung điểm của BC
Xét ΔNCB có
NE là đường cao
NE là đường trung tuyến
Do đó: ΔNCB cân tại N
Xét ΔOCN và ΔOBN có
OC=OB
NC=NB
ON chung
DO đó: ΔOCN=ΔOBN
Suy ra: \(\widehat{OCN}=\widehat{OBN}=90^0\)
hay NC là tiếp tuyến của (O)