Đặt: \(x+\dfrac{1}{x}=t\)
\(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\) \(\)
Ta có: \(18\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-9\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(x+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(18t^2+9\left(t^2-2\right)^2-9t^2\left(t^2-2\right)=\left(x+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(18t^2+9t^4-36t^2+36-9t^4+18t^2=\left(x+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+2\right)^2=36\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x+2=6\\x+2=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-8\end{matrix}\right.\)
Vậy: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \(18\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-9\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(x+2\right)^2\) là \(-8+4=-4\) .
18(x+\(\dfrac{1}{x}\))2+9(x2+\(\dfrac{1}{x^2}\))2-9(x2+\(\dfrac{1}{x^2}\))(x+\(\dfrac{1}{x}\))2=(x+2)2
Đặt (x+\(\dfrac{1}{x}\))2=t (t>0)\(\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t-2\)
Khi đó vế phải của phương trình trở thành:
18t2+9(t-2)2-9t(t-2)=36
\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2=36\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-8\end{matrix}\right.\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:4+(-8)=-4