Bài 1 :
Áp dụng : \(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)
Ta đặt : \(x=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x^3=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}.x\)
\(=18+3\sqrt[3]{81-80}.x\)
\(=18+3x\)
\(\Rightarrow x^3-18-3x=0\)
\(\Rightarrow x^3-3x^2+3x^2-9x+6x-18=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-3\right)+3x\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^2+3x+6\right)=0\)
Vì \(x^2+3x+6=x^2+2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{15}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\)
Suy ra : \(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
Vậy \(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}=3\)
Bài 2:
a) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABH$:
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{6^2+4,5^2}=7,5$ (cm)
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$AB^2=BH.BC\Rightarrow BC=\frac{AB^2}{BH}=\frac{7,5^2}{4,5}=12,5$ (cm)
Áp dụng đly Pitago cho tam giác $ABC$:
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{12,5^2-7,5^2}=10$ (cm)
$CH=BC-BH=12,5-4,5=8$ (cm)
b)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABH$:
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$ (cm)
Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{(3\sqrt{3})^2}-\frac{1}{6^2}$
$\Rightarrow AC=6\sqrt{3}$ (cm)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ACH$:
$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^2}=9$ (cm)
Hình vẽ:
