Question

Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

 

Answer 1

\(A=1\times2+2\times3+3\times4+...+n\times\left(n+1\right)\)

\(3A=1\times2\times\left(3-0\right)+2\times3\times\left(4-1\right)+3\times4\times\left(5-2\right)+...+n\times\left(n+1\right)\times\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(3A=1\times2\times3+2\times3\times4-1\times2\times3+3\times4\times5-2\times3\times4+...+n\times\left(n+1\right)\times\left(n+2\right)-n\times\left(n+1\right)\)\(\times\left(n-1\right)\)

\(3A=n\times\left(n+1\right)\times\left(n+2\right)\)

\(A=\frac{n\times\left(n+1\right)\times\left(n+2\right)}{3}\)

Answer 2

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó: 

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁ = 1.2.3 - 0.1.2
      a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂ = 2.3.4 - 1.2.3
      a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
      …………………..
      a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
      a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

Answer 3

Thiếu đề rồi bn à Nguyễn Lê Hoàng Yến

Answer 4

 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

=> 1(1+1) + 2(2+1) + 3(3+1)+..... n(n+1)

=> (1² + 2² + 3² + 4² + .... n²) + (1 + 2 + 3 + 4 +... + n)

=> (1² + 2² + 3³ + .... n² ) = n(n+1)(2n+1)/6

=> 1 + 2 + 3 + .... + n = n(n+1)/2

Thay vào :

S = n(n+1) (2n+1)/6 + n(n+1)/2 
=n(n+1)/2 [(2n+1)/3 + 1] 
=n(n+1) (n+2)/3

Answer 5

3S= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 
=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 
=n(n+1)(n+2) 
=>S 

Biểu thức này dùng để tính tổng 1^2+..+n^2 rất tiện và thực tế cũng là ket quả của hệ quả trên. 
dùng cách thức tương tự có thể tính S=1.2.3+...+ n(n+1)(n+2) từ đó suy ra tổng 1^3+...+n^3 
Việc sử dụng trước kết quả tổng 1^2+...+n^2 theo tôi là ngược tiến trình.