Lời giải:
\(\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\) (bình phương hai vế)
\(\Leftrightarrow 2(\sqrt{yz}-\sqrt{3})=x-(y+z)\)
Đặt \(x-(y+z)=a\in \mathbb{Z}\)
\(\Rightarrow 2(\sqrt{yz}-\sqrt{3})=a\) (*)
\(\Leftrightarrow 4(yz+3-2\sqrt{3yz})=a^2\)
\(\Leftrightarrow 8\sqrt{3yz}=4(yz+3)-a^2\in\mathbb{Z}\)
Do đó, \(\sqrt{3yz}\in \mathbb{Z}\). Điều này kéo theo \(yz=3k^2\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
Thay vào (*)
\(2(\sqrt{3k^2}-\sqrt{3})=a\Leftrightarrow 2\sqrt{3}(|k|-1)=a\)\(\in\mathbb{Z}\)
Ta thấy \(2(|k|-1)\in\mathbb{Z}; \sqrt{3}\) là một số vô tỷ và tích của chúng là một số nguyên, điều này chỉ có thể xảy ra khi \(|k|-1=0\Leftrightarrow |k|=1\)
\(\Rightarrow yz=3\)
Từ đây suy ra \((y,z)=(1,3)\) hoặc \((y,z)=(3,1)\)
Thay vào pt ban đầu ta tìm được \(x=4\)
Vậy \((x,y,z)=(4;1;3);(4;3;1)\)