Lời giải:
Ta có:
\(y^3=(18+\sqrt{x+1})+(18-\sqrt{x+1})+3(\sqrt[3]{18+\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{x+1}})\sqrt[3]{(18+\sqrt{x+1})(18-\sqrt{x+1})}\)
\(=36+3y\sqrt[3]{18^2-(x+1)}=36+3y\sqrt[3]{323-x}\)
Vậy \(y^3=36+3y\sqrt[3]{323-x}\)
Vì \(y\in\mathbb{Z}\) nên \(3y\sqrt[3]{323-x}\in\mathbb{Z}\). Điều này xảy ra khi \(323-x\) là lập phương của một số tự nhiên
Đặt \(323-x=t^3\Rightarrow x=323-t^3>0\Rightarrow t^3< 323\Rightarrow t\leq 6\)
Ta có: \(y^3=36+3yt(1)\). Dễ thấy $y\vdots 3$
TH1: $t< 0$ thì \(y^3=36+3yt< 36\Rightarrow y\leq 3\).
Vì $y$ chia hết cho $3$ nên $y=3$. Thay vào $(1)$ suy ra $t=-1$
\(\Rightarrow x=323-t^3=323-(-1)^3=324\) (thỏa mãn)
TH2: \(t\geq 0\) . Ở trên ta đã chỉ ra $t\leq 6$ nên $t$ có thể nhân các giá trị $0,1,2,...,6$
Nếu $t\vdots 3$ thì $3yt\vdots 27$, mà $36$ không chia hết cho $27$ nên $y^3=3yt+36$ không chia hết cho $27$ (vô lý với mọi $y\vdots 3$)
Vậy $t$ không chia hết cho $3$
Do đó $t$ có thể nhân các giá trị $1;2;4;5$. Thay vào PT(1) ta không tìm được $y$ nguyên dương thỏa mãn.
Vậy $(x,y)=(324,3)$