Question

Tìm tất cả các số nguyên tố p để đường thẳng (d): y=3px+28 cắt (P): y=7x² tại 2 điểm A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂) sao cho x₁, y₁, x₂, y₂ là các số nguyên

Answer 1

- Xét phương trình hoành độ giao điểm :

\(7x^2=3px+28\)

=> \(7x^2-3px-28=0\)

=> \(\Delta=b^2-4ac=\left(-3p\right)^2-4.7.\left(-28\right)=9p^2+784\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3p-\sqrt{9p^2+784}}{2}\\x_2=\frac{3p+\sqrt{9p^2+784}}{2}\end{matrix}\right.\)

- Để x1, y1, x2, y2 là các số nguyên .

<=> x₁, x₂ là số nguyên .

<=> \(3p\pm\sqrt{9p^2+784}\)

<=> \(9p^2+784\) là số chính phương .

- Đặt \(x^2=9p^2+784\)

=> \(\left(x-3p\right)\left(x+3p\right)=784\)

Vì \(x,p\in Z\)

=> \(\left(x-3p\right)\left(x+3p\right)=2.392=4.196=8.98=14.56=28.28\)

( và ngược lại )

- ( đoạn này bạn tự giải hen mình đưa luôn đáp án cho đỡ trình bày :))

=> \(\left(x,p\right)=\left(197,65\right),\left(100,32\right),\left(53,15\right),\left(35,7\right),\left(28,0\right)\)

=> \(p\in\left\{65,32,15,7,0\right\}\)

- Thay vào thấy số nào chia hết cho hai thì chọn nha :)

( hơi bận ko giải nốt được thong cảm :)