Question

Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình \(3\sqrt{4-3x^2}-2\sqrt{x^3+4x^2+4}\ge m\) có nghiệm thuộc đoạn [-1;1].

Answer 1

Xét \(f\left(x\right)=3\sqrt{4-3x^2}-2\sqrt{x^3+4x^2+4}\) trên \(\left[-1;1\right]\)

Để \(f\left(x\right)\ge m\) có nghiệm \(\Leftrightarrow m\le\max\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(x\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{-9x}{\sqrt{4-3x^2}}-\frac{3x^2+8x}{\sqrt{x^3+4x^2+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow-x\left(\frac{9}{\sqrt{4-3x^2}}+\frac{3x+8}{\sqrt{x^3+4x^2+4}}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=0\) (phần ngoặc to luôn dương với mọi \(x\ge-1\))

Từ BBT ta thấy \(\max\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(x\right)=f\left(0\right)=2\)

\(\Rightarrow m\le2\)