Question

Tìm số tự nhiên abc bé nhất sao cho abc = n² - 1 và cba = ( n - 2 ) ²

Answer 1

Ta có :

\(abc=100a+10b+c=n^2-1\left(1\right)\)

\(cba=100c+10b+a=\left(n-2\right)^2=n^2-4n+4\left(2\right)\)

Lấy \(\left(1\right)\) trừ \(\left(2\right)\) Ta có :

\(\left(100a+10b+c\right)-\left(100c+10b+a\right)=\left(n^2-1\right)-\left(n^2-4n+4\right)\)

\(\Leftrightarrow99\left(a-c\right)=4n-5\)

\(\Leftrightarrow\left(4n-5\right)⋮99\)

Vì \(100\le abc\le999\) nên \(100\le n^2-1\le999\)

\(\Leftrightarrow101\le n^2\le1000\)

\(\Leftrightarrow11\le n\le31\Leftrightarrow39\le4n-5\le119\)

Vì \(abc\) nhỏ nhất và \(\left(4n-5\right)⋮99\Leftrightarrow4n-5=99\Leftrightarrow n=26\)

\(\Leftrightarrow abc=675\)

Vậy số \(abc\) cần tìm là \(675\)