Có nhiều cách để làm bài này nhé!
Áp dụng bất đẳng thức $x^2+y^2\geq 2xy$ nên ta có $x^2+y^2+xy \geq 3xy$
Mà $x^2+y^2+xy=x^2y^2 \geq 0$ nên suy ra $x^2y^2+3xy\leq 0 \iff -3\leq xy \leq 0$
Vì $x,y$ nguyên nên $xy$ nguyên, vậy nên $xy \in \left \{ -3,-2,-1,0\right \}$
Trường hợp $xy=-3 $ ta tìm được các nghiệm $(-1,3),(3,-1),(-3,1),(1,-3)$
Trường hợp $xy=-2$ ta tìm được các nghiệm $(-1,2),(2,-1),(1,-2),(-2,1)$
Trường hợp $xy=-1$ ta tìm được các nghiệm $(-1,1),(1,-1)$
Trường hợp $xy=0$ ta tìm được nghiệm $(0,0)$
Thử lại thì thấy chỉ có các nghiệm $(0,0),(1,-1),(-1,1)$ thỏa mãn và đó là các nghiệm nguyên cần tìm 
PT ban đầu tương đương
$x^2(y^2-1)-yx-y^2=0$
Xét $\Delta = 4y^4-3y^2$
=> $\sqrt{\Delta} = y\sqrt{4y^2-3}$
Nếu y=0 thì x=0
Xét TH y khác 0
Pt nhận nghiệm nguyên nên $sqrt{\Delta}$ nguyên
mà y nguyên rồi nên $4y^2-3$ phải là số chính phương
Đặt $4y^2-3=k^2$
Tới đây suy ra được y=1 hoặc y=-1
Thay vào pt ban đầu tìm được x tương ứng.
Vậy pt có 3 nghiệm (x;y)=(0;0);(-1;1);(1;-1)
x^2+xy+y^2=x^2y^2
<> (1 - y^2).x^2 + xy + y^2 = 0
+ nếu 1 - y^2 = 0 <> y = +-1 thay vào => x => nghiệm (1,-1) và (-1,1)
+ nếu 1 - y^2 # 0 xem như pt bậc 2 ẩn x ta có
denta = y^2 - 4y^2.(1 - y^2) = y^2.(1 - 4 + 4y^2) = (4.y^2 - 3).y^2
- nếu y = 0 => x = 0
- nếu y # 0 ta có 4y^2 - 3 phải là số chính phương
<> 4y^2 - 3 = n^2
<> 4y^2 - n^2 = 3
<> (2y - n)(2y + n) =3
=> ta có các hệ sau
+ 2y - n = 3 và 2y + n =1
<> y = 1 và n =1 loại
+ 2y - n =1 và 2y + n = 3
<> y = n =1 loại
+ 2y - n = -3 và 2y + n = -1
<> y = -1 và n = 1 loại
+ 2y - n = -1 và 2y + n = -3
tương tự loại
Vậy có 3 nghiệm (0,0) (-1,1) và (1,-1)