Question

Tìm m để tổng GTLN và GTNN của y= x^4 -m^2x^3 -2x^2 -m trên đoạn [0,1] bằng -16

Answer 1

\(y'=4x^3-3m^2x^2-4x\)

\(y'=0\Rightarrow x\left(4x^2-3m^2x-4\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\4x^2-3m^2x-4=0\end{matrix}\right.\)

Xét pt \(f\left(x\right)=4x^2-3m^2x-4=0\)

Do \(ac=-16< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm trái dấu

Gọi \(x_2\) là nghiệm dương \(\Rightarrow x=x_2\) là điểm cực tiểu của hàm số

Do \(f\left(1\right)=-3m^2\le0\) \(\forall m\Rightarrow x_2\ge1\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow y\) nghịch biến trên \(\left[0;1\right]\Rightarrow\max\limits_{\left[0;1\right]}y=y\left(0\right)=-m\)

\(\min\limits_{\left[0;1\right]}y=y\left(1\right)=-m^2-m-1\)

\(\Rightarrow-m^2-2m-1=-16\Leftrightarrow m^2+2m-15=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-5\end{matrix}\right.\)