\(x^3-2mx^2+m^2x+x-m=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-m\right)^2+x-m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x^2-mx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m\\x^2-mx+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác m
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-m^2+1\ne0\\\Delta=m^2-4>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\)
Do vai trò của \(x_1;x_3\) là như nhau, ta chỉ cần xét 2 trường hợp:
TH1: \(x_1=m\) và \(x_2;x_3\) là nghiệm của 1
\(\Rightarrow m+x_3=2x_2\)
Kết hợp Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2+x_3=m\\2x_2-x_3=m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\frac{2m}{3}\\x_3=\frac{m}{3}\end{matrix}\right.\)
\(x_2x_3=1\Rightarrow\frac{2m^2}{9}=1\Rightarrow m=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
TH2: \(x_2=m\) và \(x_1;x_3\) là nghiệm của (1)
\(\Rightarrow x_1+x_3=2m\)
Kết hợp Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_3=m\\x_1+x_3=2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=0\left(ktm\right)\)
