Question

tìm GTNN của A=\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\) . Biết x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(A=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=\frac{x^2y^2}{xyz}+\frac{y^2z^2}{xyz}+\frac{z^2x^2}{xyz}\)

\(\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{3xyz}\) (1)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2y^2+y^2z^2\geq 2xy^2z\)

\(y^2z^2+z^2x^2\geq 2xyz^2\)

\(x^2y^2+z^2x^2\geq 2x^2yz\)

\(\Rightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geq 2xyz(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(A\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{3xyz}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{3xyz}\)

\(\Leftrightarrow A\geq x+y+z=1\)

Vậy \(A_{\min}=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)