Question

Tìm GTLN và GTNN của \(\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}\)

Answer 1

Cái này ở trong mục Toán 8 nên phải dùng cách lạc hậu này :v

Để tìm GTNN, ta làm như sau:

\(\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}=\dfrac{\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}}{x^2-x+1}\)

\(=\dfrac{\dfrac{2}{3}\left(x^2-x+1\right)+\dfrac{1}{3}\left(x^2+2x+1\right)}{x^2-x+1}\)

\(=\dfrac{2}{3}+\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(x+1\right)^2}{x^2-x+1}\ge\dfrac{2}{3}\forall x\in R\)

GTNN là \(\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\)

Để tìm GTLN, ta làm như sau

\(\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}=\dfrac{2x^2-2x+2-x^2+2x-1}{x^2-x+1}\)

\(=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-x+1}\)

\(=2-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\le2\forall x\in R\)

GTLN là 2 \(\Leftrightarrow x=1\)