Từ giả thiết: \(x+y=4\Leftrightarrow x=4-y\)
Khi đó ta có: \(H=\sqrt{4-y+1}+\sqrt{y-2}\)
\(H=\sqrt{5-y}+\sqrt{y-2}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki:
\(H^2=\left(\sqrt{5-y}+\sqrt{y-2}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2\right)\left(5-y+y-2\right)=6\)
\(\Leftrightarrow H\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(y=\dfrac{7}{2}\). Dựa vào điều kiện \(x+y=4\) suy ra được \(x=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(max_H=\sqrt{6}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\)
Ta có :
\(H=\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\)
\(\Leftrightarrow H^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\right)^2\)
Theo BĐT Bu nhi a cốp xki ta có :
\(H^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+1+y-2\right)=6\)
\(\Leftrightarrow H\le\sqrt{6}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{y-2}\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy GTLN của H là \(\sqrt{6}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\) và \(y=\dfrac{7}{2}\)
Wish you study well !!!