Question

Tìm GTLN của biểu thức: C= \(\dfrac{|x+5|+|7-x|+8}{|x+5|+|x-7|+3}\) với mọi số thực \(x\)

Answer 1

\(C=\dfrac{\left|x+5\right|+\left|7-x\right|+8}{\left|x+5\right|+\left|x-7\right|+3}\)

\(C=\dfrac{\left|x+5\right|+\left|7-x\right|+8}{\left|x+5\right|+\left|7-x\right|+3}\)

Đặt:

\(A=\left|x+5\right|+\left|7-x\right|\)

Áp dụng bđt:

\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

\(A\ge\left|x+5+7-x\right|\)

\(A\ge12\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+5\ge0\Rightarrow x\ge-5\\7-x\ge0\Rightarrow x\le7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+5< 0\Rightarrow x< -5\\7-x< 0\Rightarrow x>7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-5\le x\le7\)

\(C\le\dfrac{12+8}{12+3}\)

\(C\le\dfrac{20}{15}\)

\(C\le\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(-5\le x\le12\)