Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của A=\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) với a,b,c > 0 và a+b+c=3abc.

Answer 1

Lời giải:

Từ điều kiện

\(a+b+c=3abc\Rightarrow A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{3(ab+bc+ac)}{a+b+c}(1)\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM:

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=(a+b+c)^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq a+b+c(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow A\geq 3\)

Do đó \(A_{\min}=3\Leftrightarrow a=b=c=1\)