Question

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số:

\(\left\{\begin{matrix}U_1=2\\U_{n+1}=2-\frac{1}{U_n}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Mấy năm rồi nên chắc bạn ko còn nhu cầu cần đáp án nữa, nhưng thấy chưa ai làm nên cứ làm thôi :D

\(u_{n+1}=2-\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{u_n}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{u_n}{u_n-1}=1+\dfrac{1}{u_n-1}\)

Đặt \(\dfrac{1}{u_n-1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{u_1-1}=1\\v_{n+1}=v_n+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là cấp số cộng với công sai \(d=1\Rightarrow v_n=v_1+\left(n-1\right)d=1+n-1=n\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{u_n-1}=n\Rightarrow u_n-1=\dfrac{1}{n}\Rightarrow u_n=\dfrac{n+1}{n}\)