Cách khác nhưng ko chắc:v Lâu rồi ko làm quên gần hết rồi
\(y^2+2x.y-\left(3x+2\right)=0\) (1)
Coi phương trình trên là pt bậc 2 đối với y.
Để (1) có nghiệm thì \(\Delta'=x^2-\left[-\left(3x+2\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x+2\ge0\).Để pt có nghiệm nguyên thì \(x^2+3x+2=k^2\left(k\in\mathbb{N}\right)\Leftrightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-k^2=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{3}{2}-k\right)\left(x+\frac{3}{2}+k\right)=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+3-2k\right)\left(2x+3+2k\right)=1\)
TH1:\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3-2k=1\\2x+3+2k=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4x+6=2\Leftrightarrow x=-1\)
Thay vào pt ban đầu suy ra y = 1
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3-2k=-1\\2x+3+2k=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4x+6=-2\Leftrightarrow x=-2\)
Thay vào pt ban đầu suy ra y = 2
Vậy (x;y) = {(-1;1) , (-2;2)}
Ta có:
y2+2xy−3x−2=0y2+2xy−3x−2=0
⇒y2+2xy=3x+2⇒y2+2xy=3x+2
⇒y2+2xy+x2=3x+2+x2⇒y2+2xy+x2=3x+2+x2
⇒(x+y)2=(x+1)(x+2)(1)⇒(x+y)2=(x+1)(x+2)(1)
VT của (1) là số chính phương, VP của (1) là tích của hai số liên tiếp nên phải có một số bằng 0
⇒[x+1=0x+2=0⇒[x+1=0x+2=0
⇒[x=−1⇒y=1x=−2⇒y=2⇒[x=−1⇒y=1x=−2⇒y=2
Vậy có hai cặp số nguyên (x;y) là (-1;1) và (-2;2)
\(y^2+2xy-3x-2=0\Leftrightarrow y^2+2xy=3x+2\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\text{ là số chính phương. }\)
\(\text{Ta dễ dàng chứng minh được: x và x+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Nên phải có 1 số bằng 0}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\Leftrightarrow x=-1\\x=0\end{matrix}\right.\)
\(Với:x=-1\Rightarrow\left(y-1\right)^2=0\Rightarrow y-1=0\Leftrightarrow y=1\left(\text{t/m}\right)\)
\(Với:x=0\Rightarrow y^2=0\Leftrightarrow y=0\left(\text{t/m}\right)\)
\(Vậy:\left(x,y\right)\in\left\{\left(-1;1\right),\left(0;0\right)\right\}\)