Question

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn:

\(2021\left(x^2+y^2\right)-2020\left(2xy+1\right)=5\)

Answer 1

PT đã cho \(\Leftrightarrow2020\left(x-y\right)^2+x^2+y^2=2025\)

Ta thấy x, y nguyên nên 2020(x - y)² chia hết cho 2020.

Mà x² + y² \(\ge\) 0 \(\Rightarrow0\le2020\left(x-y\right)^2\le2025\Rightarrow2020\left(x-y\right)^2\in\left\{0;2020\right\}\)

+) Nếu 2020(x - y)² = 0 thì x = y. Khi đó: x² + y² = 2025
\(\Rightarrow2x^2=2025\), vô lí.

+) Nếu 2020(x - y)² = 2020 thì x² + y² = 5 và |x - y| = 1. Từ đó: \(x,y\in\left\{\left(1;2\right),\left(2;1\right),\left(-1;-2\right),\left(-2;-1\right)\right\}\).

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x,y\in\left\{\left(1;2\right),\left(2;1\right),\left(-1;-2\right),\left(-2;-1\right)\right\}\).