Nếu p;q;r đều lẻ hoặc có đúng 1 số trong 3 số là lẻ \(\Rightarrow p^2+q^2+r^2\) lẻ, trong khi 5054 chẵn (ktm)
\(\Rightarrow\) Cả p;q;r đều chẵn (loại do \(2^2+2^2+2^2< 5054\)) hoặc có đúng 1 số trong 3 số là chẵn
Do vai trò 3 số như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử r chẵn \(\Rightarrow r=2\)
\(\Rightarrow p^2+q^2=5050\)
Nếu p; q đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow p=q=3\Rightarrow ktm\)
Nếu p;q đều ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2\) và \(q^2\) đều chia 3 dư 1
\(\Rightarrow p^2+q^2\) chia 3 dư 2 trong khi \(5050\) chia 3 dư 1 (ktm)
\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q chia hết cho 3, ko mất tính tổng quát, giả sử là p \(\Rightarrow p=3\)
\(\Rightarrow q^2=5050-9=5041\Rightarrow q=71\) là SNT (thỏa mãn)
Vậy bộ 3 số nguyên tố thỏa mãn là \(\left(2;3;71\right)\) và các hoán vị
Vì tổng của p2 + q2 + r2 \(⋮2\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}p⋮2\\q⋮2\\r⋮2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\q=2\\r=2\end{matrix}\right.\);
Giả sử r = 2 => p2 + q2 = 5050 ; p;q lẻ
=> Chữ số tận cùng p2 chỉ có thể là 9;1
=> Chư số tận cùng p là 1;3;7;9
mà p2 + q2 = 5050 => q2 \(< 5050\) ; p2 < 5050
<=> q < 72 (1) ; p < 72 (2)
Lại có p2 + q2 = 5050
<=> 2pq = 5050 - (p - q)2 < 5050
<=> pq \(< 2525\) (3)
Từ (1) ; (3) => p > 35 (4)
Từ (2) ; (4) => 35 < p < 72
<=> p \(\in\left\{37;41;43;47;53;59;61;67;71\right\}\)
Thử từng giá trị p => tìm được p = 71 thỏa mán
thay vào pt gốc được q = 3 (tm)
Vậy các cặp (p;q;r) thỏa là (71;3;2) và các hoán vị
Giả sử p<q<r.
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Số lẻ có dạng 2k+1 (k\(\in\)N), bình phương của số lẻ là (2k+1)2=4k2+4k+1 là một số lẻ.
Mà p2+q2+r2 là một số chẵn (=5054), suy ra p=2.
q2+r2=5050 \(\Rightarrow\) q2<2525 \(\Rightarrow\) 3\(\le\)q<50.
Với q=3 \(\Rightarrow\) r=71 (nhận).
Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 3 và 71.
