Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \(\left(3+2i\right)z-\left(4+7i\right)=2-5i\)
b) \(\left(7-3i\right)z+\left(2+3i\right)=\left(5-4i\right)z\)
c) \(z^2-2z+13=0\)
d) \(z^4-z^2-6=0\)
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn các điều kiện :
a) \(\left|z-i\right|=1\)
b) \(\left|2+z\right|< \left|2-z\right|\)
c) \(2\le\left|z-1+2i\right|< 3\)
Tính :
a) \(\dfrac{5+2i}{7-i}\)
b) \(\dfrac{3-i}{i}+\left(5-i\right)^2\)
Tìm môđun của các số phức sau :
a) \(z=\left(-4+i\sqrt{48}\right)\left(2+i\right)\)
b) \(z=\dfrac{1+i}{2-i}\)
Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau :
a) \(A=\left[\dfrac{2a+\left(ab\right)^{\dfrac{1}{2}}}{3a}\right]^{-1}\left[\dfrac{a^{\dfrac{3}{2}}-b^{\dfrac{3}{2}}}{a-\left(ab\right)^{\dfrac{1}{2}}}-\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right]\)
b) \(B=\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{a+x}}-\dfrac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}+\sqrt{x}}\right)^{-2}-\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{a+x}}-\dfrac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}\right)^{-2}\)
c) \(C=\sqrt{16^{\dfrac{1}{\log_74}}+81^{\dfrac{1}{\log_69}}+15}\)
d) \(D=49^{1-\log_72}+5^{-\log_54}\)
Chứng minh rằng :
a) \(i+i^2+i^3+...+i^{99}+i^{100}=0\)
b) \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+i\right)\left(1-i\right)\left(1+i\right)}{i}=2-2\sqrt{2}i\)
a) Tính tích phân
\(\int\limits^3_0\dfrac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+3}dx\) (đặt \(t=\sqrt{x+1}\) )
b) Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện :
* \(\left|z+1\right|=\left|z-i\right|\)
* \(\left|z\right|^2+3z+3\overline{z}=0\)
Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số :
\(s\left(x\right)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{2}\)
\(c\left(x\right)=\dfrac{a^x+a^{-x}}{2}\)
\(t\left(x\right)=\dfrac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\)
Hãy chứng minh rằng :
a) \(c^2\left(x\right)-s^2\left(x\right)=1\)
b) \(s\left(2x\right)=2s\left(x\right)c\left(x\right)\)
c) \(c\left(2x\right)=2c^2\left(x\right)-1=2s^2\left(x\right)+1=c^2\left(x\right)+s^2\left(x\right)\)
d) \(t\left(2x\right)=\dfrac{2t\left(x\right)}{1+t^2\left(x\right)}\)
Tìm \(a\in\left(0;2\pi\right)\) để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}\left(1+2\cos a\right)x^2+2x\cos a+1\) đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\) ?
