Question

Thế nào là trong ba số a,b,c tồn tại ít nhất một số là lập phương của một số hữu tỉ còn lại.

Answer 1

Bạn có thể cho ví dụ bài cụ thể được không? Mình nghĩ là điều trên xảy ra khi ta biến đổi ra được đẳng thức:

$(a-b^3)(b-c^3)(c-a^3)=0$ hoặc $(a-c^3)(b-a^3)(c-b^3)=0$

Answer 2

Bách Bách: Với ví dụ của bạn thì có thể làm như sau:

Đặt \(\left(\frac{x}{y^3}; \frac{y}{z^3}; \frac{z}{x^3}\right)=(a,b,c)\). Khi đó $abc=\frac{1}{x^2y^2z^2}=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta có:

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac$

$\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ac-1=0$

$\Leftrightarrow ab(c-1)-(ac-a)-(bc-b)+(c-1)=0$

$\Leftrightarrow ab(c-1)-a(c-1)-b(c-1)+(c-1)=0$

$\Leftrightarrow (c-1)(ab-a-b+1)=0$

$\Leftrightarrow (c-1)(a-1)(b-1)=0$

$\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y^3}-1\right)\left(\frac{y}{z^3}-1\right)\left(\frac{z}{x^3}-1\right)=0$

$\Leftrightarrow (x-y^3)(y-z^3)(z-x^3)=0$

$\Rightarrow$ tồn tại ít nhất 1 trong 3 số là lập phương của số còn lại (đpcm)