Violympic toán 9

VA

\(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)

AH
18 tháng 6 2019 lúc 11:49

Lời giải:

Yêu cầu đề bài chắc là rút gọn.

Đặt \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a; \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3=4\\ ab=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{2^2-5}=-1\\ x=a+b=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\((a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\)

\(\Leftrightarrow x^3=4+3x(-1)\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x-4=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+x+4)(x-1)=0\)

Dễ thấy $x^2+x+4>0$ nên $x-1=0\Rightarrow x=1$

Vậy $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x=1$

Bình luận (0)
AH
7 tháng 8 2019 lúc 0:38

Lời giải:

Yêu cầu đề bài chắc là rút gọn.

Đặt \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a; \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3=4\\ ab=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{2^2-5}=-1\\ x=a+b=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\((a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\)

\(\Leftrightarrow x^3=4+3x(-1)\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x-4=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+x+4)(x-1)=0\)

Dễ thấy $x^2+x+4>0$ nên $x-1=0\Rightarrow x=1$

Vậy $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x=1$

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
BB
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết
TK
Xem chi tiết
HG
Xem chi tiết
TH
Xem chi tiết
TK
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết
AN
Xem chi tiết
DH
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết