Ví dụ 6:
Ta có công thức sau: Với hai số phức \(z_1,z_2\) thì:
\(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\)
Chứng minh:
\(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2})\)
\(=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})=|z_1|^2+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+|z_2|^2+|z_1|^2-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+|z_2|^2\)
\(=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\) (đpcm)
Áp dụng vào bài toán:
\(|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)-|z_1+z_2|^2=2(1+1)-3=1\)
Ví dụ 7:
Đặt \(z=a+bi\) (\(a,b\in\mathbb{R}\))
Điều kiện 1: \(\frac{z}{\overline{z}^2}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{z^3}{|z|^4}\in\mathbb{R}\Rightarrow z^3\in\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow (a+bi)^3=(a+bi)(a^2-b^2+2abi)\in\mathbb{R}\)
Điều này tương đương với việc phần ảo bằng $0$
\(\Rightarrow 2a^2b+a^2b-b^3=3a^2b-b^3=0(1)\)
Điều kiện 2: \(|z-\overline{z}|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow |2bi|=2\sqrt{3}\Rightarrow b^2=3\rightarrow b=\pm \sqrt{3}\)
Thay vào \((1)\Rightarrow 3a^2b-3b=0\Rightarrow a^2=1\rightarrow a=\pm 1\)
Do đó \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\pm 1)^2+(\pm \sqrt{3})^2}=2\)