Question

Rút gọn phân thức:

\(A=\frac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}\)

Answer 1

Phân tích mẫu thức thành nhân tử:

\(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)

= \(a^2\left(b-c\right)+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2\)

= \(a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)\)

= \(\left(b-c\right) \left(a^2+bc-ab-ac\right)\)

= \(\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]\)

= \(\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

Do đó: \(A=\frac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Ta có nhận xét: Nếu x + y + z = 0 thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Đặt b - c = x, c - a = y, a - b = z thì x + y + z = 0

Theo nhận xét trên:

\(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-3xyz}=\frac{3xyz}{-3xyz}=-1\)