*Lần sau bạn nên dùng công cụ trực quan nhé, ghi kiểu này mình dịch mệt ***** :V*
a, ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne4\)
\(Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}\\ =\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(x+5\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\frac{x-3\sqrt{x}+2-\left(x+4\sqrt{x}+3\right)-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\frac{-x-7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\frac{-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\frac{-\left(\sqrt{x}+6\right)}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}+6}{2-\sqrt{x}}\)
b, Để \(Q>-1\) thì:
\(\frac{\sqrt{x}+6}{2-\sqrt{x}}>-1\\ \Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+6}{2-\sqrt{x}}+1>0\\ \Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+6+2-\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}>0\\ \Leftrightarrow\frac{8}{2-\sqrt{x}}>0\)
Mà 8>0 nên từ đây ta suy ra: \(2-\sqrt{x}>0\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\Leftrightarrow x< 4\)
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có đk \(0\le x< 4\) để \(Q>-1\)
c, (để P nguyên?!)
Ta thấy: nếu Q nguyên thì \(Q+1\) cũng nguyên.
Mà \(Q+1=\frac{8}{2-\sqrt{x}}\) (phần b)
Nên để Q nguyên thì Q+1 cũng nguyên, hay \(2-\sqrt{x}\inƯ\left(8\right)\)
Ta có bảng:
| \(2-\sqrt{x}\) | -8 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| \(\sqrt{x}\) | 10 | 6 | 4 | 3 | 1 | 0 | -2 | -6 |
| \(x\) | 100 | 36 | 16 | 9 | 4 (loại do ktm ĐK) | 0 | \(\varnothing\) | \(\varnothing\) |
Các giá trị trên đều thỏa mãn \(Q\in Z\).
Vậy với \(x\in\left\{0;9;16;36;100\right\}\) thì \(Q\) nguyên.
Chúc bạn học tốt nha
.