Lời giải:
Gọi trung điểm $AC$ là $M$.
Theo định lý cos:
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. Mà theo đề thì $a=2c$ nên:
$\frac{-1}{2}=\cos 120^0=\frac{5c^2-b^2}{4c^2}$
$\Rightarrow b^2=7c^2$
Theo định lý đường trung tuyến:
$BM^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{c^2+4c^2}{2}-\frac{7c^2}{4}=\frac{3}{4}c^2$
$AM^2=(\frac{b}{2})^2=\frac{7}{4}c^2$
Từ những số tính toán ở trên suy ra:
$c^2+\frac{3}{4}c^2=\frac{7}{4}c^2\Leftrightarrow AB^2+BM^2=AM^2$ nên theo định lý Pitago đảo thì $ABM$ vuông tại $B$
$\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{n_{BM}}=(1,1)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(1,-1)$
PTĐT $AB$: $(x-3)-(y-1)=0\Leftrightarrow x-y-2=0$
$B$ vừa thuộc đt $x+y-2=0$ vừa thuộc ĐT $x-y-2=0$ nên dễ tính $B(2,0)$
---------------------
Gọi tọa độ $C$ là $(t,t')$ thì tọa độ $M$ là $(\frac{3+t}{2}; \frac{t'+1}{2})$
Vì $M\in (x+y-2=0)$ nên: $\frac{3+t}{2}+\frac{t'+1}{2}=0\Leftrightarrow t'=-t$
Theo đề:
$a=2c\Leftrightarrow a^2=4c^2\Leftrightarrow (t-2)^2+(-t)^2=4[(3-2)^2+(1-0)^2]$
$\Leftrightarrow t=1\pm\sqrt{3}$
Vậy............