một sợi dây kim loại dài 1m được cắt thành 2 đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ dài a mét được uốn thành 1 tam giác đều, đoạn dây thứ hai được uốn thành hình vuông. Để tổng diện tích hình tam giác và hình vuông là nhỏ nhất thì độ dài đoạn dây thứ nhất là bao nhiêu mét
A.\(\dfrac{9}{9+4\sqrt{3}}\)
B.\(\dfrac{\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}\)
C.\(\dfrac{4}{4+\sqrt{3}}\)
D.\(\dfrac{4\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}\)
Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits^4_{-2}\left(\dfrac{x-2}{x+3}\right)^2dx\) (đặt \(t=x+3\) )
b) \(\int\limits^6_{-4}\left|x+3\right|-\left|x-4\right|dx\)
c) \(\int\limits^2_{-3}\dfrac{dx}{\sqrt{x+7}+3}\) (đặt \(t=\sqrt{x+7}\) hoặc \(t=\sqrt{x+7}+3\) )
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{\cos x}{1+4\sin x}dx\)
e) \(\int\limits^2_1\dfrac{x^9}{x^{10}+4x^5+4}dx\) (đặt \(t=x^5\) )
g) \(\int\limits^3_0\left(x+2\right)e^{2x}dx\)
h) \(\int\limits^5_2\dfrac{\sqrt{4+x}}{x}dx\) (đặt \(t=\sqrt{4+x}\) )
Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau :
a) \(A=\left[\dfrac{2a+\left(ab\right)^{\dfrac{1}{2}}}{3a}\right]^{-1}\left[\dfrac{a^{\dfrac{3}{2}}-b^{\dfrac{3}{2}}}{a-\left(ab\right)^{\dfrac{1}{2}}}-\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right]\)
b) \(B=\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{a+x}}-\dfrac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}+\sqrt{x}}\right)^{-2}-\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{a+x}}-\dfrac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}}\right)^{-2}\)
c) \(C=\sqrt{16^{\dfrac{1}{\log_74}}+81^{\dfrac{1}{\log_69}}+15}\)
d) \(D=49^{1-\log_72}+5^{-\log_54}\)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{24}}_0\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)dx\) (đặt \(u=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{3}{5}}_{\dfrac{\sqrt{3}}{5}}\dfrac{dx}{9+25x^2}\) (đặt \(x=\dfrac{3}{5}\tan t\))
c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^3x\cos^4xdx\) (đặt \(u=\cos x\))
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{-\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}}{\cos^2x}dx\) (đặt \(u=\sqrt{1+\tan x}\))
Giải các phương trình sau :
a) \(\left(\dfrac{13}{24}\right)^{3x+7}=\left(\dfrac{24}{13}\right)^{2x+3}\)
b) \(\left(4-\sqrt{15}\right)^{\tan x}+\left(4+\sqrt{15}\right)^{\tan x}=8\)
c) \(\left(\sqrt[3]{6+\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt[3]{7-\sqrt{15}}\right)^x=13\)
Tính :
a) \(\int\limits^2_{-1}\left(5x^2-x+e^{0,5x}\right)dx\)
b) \(\int\limits^2_{0,5}\left(2\sqrt{x}+\dfrac{3}{x^2}+\cos x\right)dx\)
c) \(\int\limits^2_1\dfrac{dx}{\sqrt{2x+3}}\) (đặt \(t=\sqrt{2x+3}\) )
d) \(\int\limits^2_1\sqrt[3]{3x^3+4}x^2dx\) (đặt \(t=\sqrt[3]{3x^3+4}\) )
e) \(\int\limits^2_{-2}\left(x-2\right)\left|x\right|dx\)
g) \(\int\limits^0_1x\cos xdx\)
h) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{1+\sin2x+\cos2x}{\sin x+\cos x}dx\)
i) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0e^x\sin xdx\)
k) \(\int\limits^e_1x^2\ln^2xdx\)
Giải các phương trình sau :
a) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-3x+1\right)}\)
b) \(4x^2+3.3^{\sqrt{x}}+x.3^{\sqrt{x}}< 2x^2.3^{\sqrt{x}}+2x+6\)
c) \(\log_x4.\log_2\dfrac{5-12x}{12x-8}\ge2\)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần :
a) \(\int\limits^{e^4}_1\sqrt{x}\ln xdx\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{xdx}{\sin^2x}\)
c) \(\int\limits^{\pi}_0\left(\pi-x\right)\sin xdx\)
d) \(\int\limits^0_{-1}\left(2x+3\right)e^{-x}dx\)
Cho hàm số :
\(y=\dfrac{1}{3}x^3-\left(m-1\right)x^2+\left(m-3\right)x+4\dfrac{1}{2}\) (1)
(m là tham số )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm (1) khi m = 0
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị C( tại điểm \(A\left(0;4\dfrac{1}{2}\right)\)
c) Tình diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng \(x=0;x=2\)
d) Xác định m để đồ thị (1) cắt đường thẳng \(y=-3x+4\dfrac{1}{2}\) tại 3 điểm phân biệt
Tìm môđun của các số phức sau :
a) \(z_1=-5+\dfrac{1}{2}i\)
b) \(z_2=\sqrt{3}-\sqrt{7}i\)