Đặt \(P\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right).Q\left(x\right)+R\left(x\right)\)
( Q(x) là thương của phép chia P(x) cho \(x^4+x^2+1\); R(x) là dư của phép chia P(x) cho \(x^4+x^2+1\))
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right).Q\left(x\right)+R\left(x\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)-R\left(x\right)\) chia hết cho \(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x\right);R\left(x\right)\) có cùng số dư khi chia cho \(x^2+x+1\) và \(x^2-x+1\)
Do \(x^2+x+1\) có bậc là 2 nên thương của P(x) cho \(x^2+x+1\) có dạng mx+n
Do \(x^2-x+1\) có bậc là 2 nên thương của P(x) cho \(x^2-x+1\) có dạng px+q
Khi đó:
R(x) = \(\left(x^2+x+1\right)\left(mx+n\right)+1-x=\left(x^2-x+1\right)\left(px+q\right)+3x+5\)
Đồng nhất hệ số 2 vế ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+p\\n+m=q-p\\n+m-1=-p+q+3\\n+1=q+5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=p=2\\n=4\\q=0\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức phải tìm là: R(x) = \(-2x^3+2x^2+x+5\)