Gọi thương của phép chia P(x) cho (x-1)(x-3) lần lượt là A(x) và B(x) số dư lần lượt là 4 và 14 .
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-1\right).A\left(x\right)+4\forall x\) (1)
\(P\left(x\right)=\left(x-3\right).B\left(x\right)+14\forall x\) (2)
Gọi thương của phép chia P(x) chia cho đa thức bậc 2 (x-1)(x-3) là C(x) và dư là R(x)
=> P(x) có dạng ax +b .
Ta có : \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right).C\left(x\right)+\left(ax+b\right)\)\(\forall x\) (3)
Thay x=1 vào (1) và (3) ta có :
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=4\\P\left(1\right)=a+b\end{matrix}\right.\)
Thay x=3 vào (1) và (3) ta có :
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(3\right)=14\\P\left(3\right)=a+b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\3a+b=14\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy dư của P(x) cho (x-1)(x-3 ) là \(5x-1\).