a: Xét tú giác MHBE có \(\widehat{MHB}+\widehat{MEB}=90^0+90^0=180^0\)
nên MHBE là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác MHCF có \(\widehat{MHC}+\widehat{MFC}=90^0+90^0=180^0\)
nên MHCF là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: MHBE là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{HME}+\widehat{HBE}=180^0\)
=>\(\widehat{HME}+\widehat{ABC}=180^0\left(1\right)\)
Ta có: MHCF là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{HMF}+\widehat{HCF}=180^0\)
=>\(\widehat{HMF}+\widehat{ACB}=180^0\left(2\right)\)
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC và OA là phân giác của góc BOC
Xét ΔACB có AB=AC
nên ΔABC cân tại A
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{HME}=\widehat{HMF}\)
Xét (O) có
\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC
\(\widehat{MCF}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CF và dây cung CM
Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MCF}\)
mà \(\widehat{MBC}=\widehat{MEH}\)(BHME là tứ giác nội tiếp)
và \(\widehat{MCF}=\widehat{MHF}\)(MHCF là tứ giác nội tiếp)
nên \(\widehat{MEH}=\widehat{MHF}\)
Xét ΔMEH và ΔMHF có
\(\widehat{MEH}=\widehat{MHF}\)
\(\widehat{EMH}=\widehat{HMF}\)
Do đó: ΔMEH~ΔMHF
=>\(\dfrac{ME}{MH}=\dfrac{MH}{MF}\)
=>\(MH^2=ME\cdot MF\)