§3. Hàm số bậc hai

GH

Mn giải giúp min nhéBài tập Toán

AH
27 tháng 7 2017 lúc 0:22

Bài 1:

Ta có

\(P=\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2-\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+1=\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-1\)

Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow P=t^2-t-1\)

Đặt \(\frac{a}{b}=m\) suy ra \(t=m+\frac{1}{m}\). Đạo hàm và lập bảng BT suy ra \(t_{\max}=2,t_{\min}=-2\rightarrow t\in [-2;2]\)

Ta có \(P'=2t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)

\(P(2)=1\); \(P(\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}\) ;\(P(-2)=5\)

Do đó \(P_{\min}=\frac{-5}{4}\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)

Bình luận (1)
AH
27 tháng 7 2017 lúc 0:33

Bài 2:

Đặt \(P=x^4+y^4-x^2y^2\Leftrightarrow P=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow P=(x^2+y^2)^2-3(x^2+y^2-1)^2\)

Đặt \(x^2+y^2=t\) thì \(P=t^2-3(t-1)^2=6t-2t^2-3\)

Mặt khác, theo ĐKĐB:

\(x^2+y^2=1+xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)=2+2xy\rightarrow x^2+y^2=2-(x-y)^2\leq 2\)

Vì vậy \(t\in (0;2]\) (dễ cm \(t\neq 0\) )

Xét hàm \(P(t)=6t-2t^2-3\). \(P'(t)=6-4t=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}\)

Lập bảng biến thiên suy ra \(P_{\min}=1\leftrightarrow t=2,P_{\max}=\frac{3}{2}\leftrightarrow t=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{9}< 1\leq x^4+t^4-x^2y^2\leq \frac{3}{2}\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
BD
Xem chi tiết
BD
Xem chi tiết
BD
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
TQ
Xem chi tiết
PH
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết
NM
Xem chi tiết
DG
Xem chi tiết