mấy man giải giúp tui bài này vs:))
Bài 1: giải phương trình: \(x^2+\dfrac{4x^2}{\left(x-2\right)^2}=12\)
bài 2: cho các số a, b, c dương. chứng minh rằng: \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Bài 3: cho hình vuông ABCD có AB=a cố định. GỌi M là một điểm di động trên đường chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AB tại E và Kẻ MF vuông góc với BC tại F. Hãy xác địn vị trí điểm M treeo đường chéo AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
1/ \(x^2+\dfrac{x^2}{\left(x-2\right)^2}=12\)
\(\Leftrightarrow x^4-4x^3-4x^2+48x-48=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x+12\right)\left(x^2+2x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x=-1\pm\sqrt{5}\)
~ Bài 3:
Hình tự vẽ.
Theo giả thiết, ta có:
\(\widehat{MEB}=\widehat{EBF}=\widehat{BFM}=90^0\)
\(\Rightarrow EBFM\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow ME=FB;MF=EB\)
\(\Delta EAM\) vuông cân tại E \(\left(\widehat{BAC}=45^0\right)\)
\(\Rightarrow AE=ME=BF\)
\(\Delta FMC\) vuông cân tại F \(\left(\widehat{BCA}=45^0\right)\)
\(\Rightarrow FC=MF=BE\)
Ta có:
\(S_{DFE}=S_{ABCD}-S_{ADE}-S_{DCF}-S_{BFE}\)
\(=a^2-\dfrac{1}{2}\times a\times AE-\dfrac{1}{2}\times a\times CF-\dfrac{1}{2}\times BE\times BF\)
\(=a^2-\dfrac{1}{2}\times a\times\left(AE+EB\right)-\dfrac{1}{2}\times AE\times BE\)
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\(S_{DFE}\ge a^2-\dfrac{1}{2}\times a^2-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(AE+BE\right)^2}{4}\)
\(=\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{a^2}{8}=\dfrac{3}{8}a^2\)
Dấu "=" xảy ra khi AE = BE
<=> E là trung điểm của AB mà ME // BC (do cùng _I_ AB)
=> M là trung điểm của AC
Vậy \(Min_{S_{DFE}}\) \(=\dfrac{3}{8}a^2\) <=> M là trung điểm của AC.
2/ \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
