Like và share page Facebook của cuộc thi để theo dõi những ưu đãi, sự kiện tiếp theo nha ^^
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy liên hệ trực tiếp qua Facebook nha :>
-------------------------------------------------
Đề số 3 trong bộ đề Toán chuyên, gửi tới các bạn. Trả lời và bình luận để được các thầy cô đánh giá điểm nhé :>
Ngoài ra, mình có một câu bất đẳng thức phụ ngoài đề.
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b+c}\).
Bài I
a ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}2-x\ge0\\2-x^2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2\\-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(2-x^2\right)=\left(\sqrt{2-x}\right)^2\Leftrightarrow x^4-4x^2+4=2-x\Leftrightarrow x^4-4x^2+x+2=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3+x^3-x^2-3x^2+3x-2x+2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2-3x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\left(1\right)\\x^3+x^2-3x-2=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) \(\Rightarrow x=1\left(TM\right)\)
Từ (2) \(\Rightarrow x^3+2x^2-x^2-2x-x-2=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x^2-x-1=0\end{matrix}\right.\)
*Nếu x+2=0 \(\Leftrightarrow x=-2\left(L\right)\)
*Nếu \(x^2-x-1=0\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\left(L\right)\\x=\dfrac{-\sqrt{5}+1}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy...
Ảnh bị up thiếu, đề còn thiếu đây nhé 
Bài II
1 Giả sử a+b+c+d là số nguyên tố
\(\Rightarrow a\left(a+b+c+d\right)=a^2+ab+ac+ad=a^2+ab+bd+ad\) (do ac=bd) =a(a+b)+d(a+b)=(a+b)(a+d) \(\Rightarrow a\left(a+b+c+d\right)⋮\left(a+b\right)\left(a+d\right)\) Mà a<a+b,a<a+d do a,b,c,d \(\in Z^+\) \(\Rightarrow a+b+c+d⋮\left(a+b\right)\left(a+d\right)\) Vô lí \(\Rightarrow\) giả sử sai
Vậy a+b+c+d là hợp số
Bài II
b Vì 13p+1 là lập phương của 1 số tự nhiên do đó giả sử 13p+1=\(a^3\)(a\(\in Z^+\) ). Mà p là số nguyên tố nên \(\left\{{}\begin{matrix}p\ge2\\p\ne13\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13p+1\ge13\cdot2+1=27\\13p+1\ne13\cdot13+1=170\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\ge27\\a^3\ne170\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a\ge3\Rightarrow a-1\ge2\) (1)
\(13p+1=a^3\) \(\Rightarrow13p=a^3-1\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=13p\)
\(\Rightarrow\left(a-1;a^2+a+1\right)\in\left\{\left(13;p\right),\left(p;13\right)\right\}\) (do (1) và \(a^2+a+1>a-1\) )
Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}a-1=13\\a^2+a+1=p\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=14\\p=211\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p=211\left(TM\right)\)
Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}a-1=p\\a^2+a+1=13\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=a-1\\a^2+a-12=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=a-1\\\left(a-3\right)\left(a+4\right)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=a-1\\a=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=2\\a=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p=2\left(TM\right)\)
Vậy...
