Like và follow để ủng hộ và giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi nha :>
Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook
Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:
[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu
-------------------------------------------------------------------
[Toán.C31 _ 24.1.2021]
a) Cho 3a + 4b = 5. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2\ge1\).
b) Cho \(2a^2+3b^2=5.\) Chứng minh rằng: \(2a+3b\le5\).
[Toán.C32 _ 24.1.2021]
Với \(0< a\le b\le c\); \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}\ge3;\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}\ge2;\dfrac{1}{3c}\ge1.\)
Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+c^2\le\dfrac{49}{36}\).
[Toán.C33 _ 24.1.2021]
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)\le2.\)
[Toán.C34 _ 23.1.2021]
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}.\)
Xí câu dễ trước
Câu 31.
a) Thay $b=\dfrac{5-3a}{4}$ vào và rút gọn thì cần chứng minh $(5a-3)^2\geqslant 0.$
b) Ta có: \(5^2=\left(2+3\right)\left(2a^2+3b^2\right)\ge\left(2a+3b\right)^2\Rightarrow2a+3b\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1.\)
Bài 33.
Chuyển về pqr, cần chứng minh:
\({\dfrac { \left( {p}^{2}-3\,q \right) \left( {p}^{3}q-{p}^{2}r-2\,p{q} ^{2}+6\,qr \right) }{2qr \left( {p}^{2}-2\,q \right) }}\geqslant 0 \)
Đây là điều hiển nhiên nếu khai triển biểu thức \({p}^{3}q-{p}^{2}r-2\,p{q}^{2}+6\,qr\) ta sẽ được một đa thức với tất cả hệ số đều dương.
Câu 32.
BĐT \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le1^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\)
\(VP=c^2\cdot\dfrac{1}{9c^2}+b^2\cdot\dfrac{1}{4b^2}+a^2\cdot\dfrac{1^2}{a^2}\)
\(=\dfrac{\left(c^2-b^2\right)}{9c^2}+\left(b^2-a^2\right)\left(\dfrac{1}{4b^2}+\dfrac{1}{9c^2}\right)+a^2\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4b^2}+\dfrac{1}{9c^2}\right)\)
\(\ge\left(c^2-b^2\right)\cdot\left(\dfrac{1}{3c}\right)^2+\dfrac{\left(b^2-a^2\right)\left(\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}\right)^2}{2}+\dfrac{a^2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}\right)^2}{3}\)
\(\ge\left(c^2-b^2\right)+2\left(b^2-a^2\right)+3a^2=a^2+b^2+c^2\)
Dấu bằng không xảy ra nên ban đầu em tưởng đề sai.
Bài 34.
Ta có: \(\text{VT}-\text{VP}={\dfrac { \left( ac+{b}^{2}-2\,bc \right) ^{2}a+ \left( ab-2\,ac+{c}^{2 } \right) ^{2}b+ \left( {a}^{2}-2\,ab+bc \right) ^{2}c}{bca \left( a+b +c \right) }}+\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\geqslant 0.\)
PS: Đề đáng ra phải là:\(VT\ge\dfrac{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)