Trước tiên bạn lưu ý gõ hẳn đề chứ đừng dẫn link như thế này, rất khó để các bạn khác theo dõi, xác suất có người hỗ trợ bạn cũng sẽ thấp hơn.
Lời giải:
a) Không cần dùng đến BĐT Cô-si:
$x\geq 2\Rightarrow A=x+\frac{1}{2}\geq 2+\frac{1}{2}$ hay $A\geq \frac{5}{2}$
Vậy GTNN của $A$ là $\frac{5}{2}$ khi $x=2$
b)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
$ax+ax+\frac{3}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{ax.ax.\frac{3}{x^2}}=3\sqrt[3]{3a^2}$
Dấu "=" của BĐT trên xảy ra khi $ax=\frac{3}{x^2}$
Hay $ax^3=3(1)$
Vì đề bài đã cho $x\geq 2$ nên 99.9% giá trị nhỏ nhất của biểu thức xác định tại $x=2$. Thay $x=2$ vào $(1)$ ta thu được $a=\frac{3}{8}$
Tìm được $a$ rồi ta sẽ tìm cách tách ghép hợp lý để tìm min $B$
$B=\frac{x}{4}+(\frac{3}{8}x+\frac{3}{8}x+\frac{3}{x^2})$
Do $x\geq 2\Rightarrow \frac{x}{4}\geq \frac{1}{2}$
$\frac{3}{8}x+\frac{3}{8}x+\frac{3}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{3.(\frac{3}{8})^2}=\frac{9}{4}$ (theo BĐT Cô-si)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có $B\geq \frac{11}{4}$
Vậy GTNN của $B$ là $\frac{11}{4}$ khi $x=2$
c) $C$ tương tự $B$, bạn "biết thừa" điểm rơi là $x=2$ thì bạn cố tình ghép để áp dụng BĐT Cô-si có dấu "=" xảy ra tại $x=2$
Ta có:
\(\frac{3x}{4}+\frac{3}{x}\geq 2\sqrt{\frac{3x}{4}.\frac{3}{x}}=3\)
\(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{4}{x^2}}=3\)
\(\frac{x}{4}\geq \frac{1}{2}\) do $x\geq 2$
Cộng theo vế 3 BĐT trên thu được:
\(C\geq 3+3+\frac{1}{2}=\frac{13}{2}\)
Vậy $C_{\min}=\frac{13}{2}$