Question

GPT nghiệm nguyên : \(\left(y+2\right)x^2+1=y^2\)

Answer 1

Lời giải:

Nhận thấy $y=-2$ không phải là một nghiệm thỏa mãn PT đã cho

Do đó $y\neq -2$

Khi đó: \((y+2)x^2=y^2-1\Rightarrow x^2=\frac{y^2-1}{y+2}=\frac{y^2-4+3}{y+2}=\frac{(y-2)(y+2)+3}{y+2}\)

\(=y-2+\frac{3}{y+2}\)

Vì \(x^2\in\mathbb{Z}\Rightarrow y-2+\frac{3}{y+2}\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow \frac{3}{y+2}\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow 3\vdots y+2\Rightarrow y+2\in \left\{\pm 1;\pm 3\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{-3; -1; -5; 1\right\}\)

Nếu \(y=-3\Rightarrow x^2=-8< 0\) (loại)

Nếu \(y=-1\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\)

Nếu \(y=-5\Rightarrow x^2=-8< 0\) (vô lý- loại)

Nếu \(y=1\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\)

Vậy PT có nghiệm \((x,y)=(0,\pm 1)\)