Question

Giúp mk vs mn.

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn xyz=1. Tìm GTLN của biểu thức:

A=1/x^3+y^3+1 + 1/y^3+z^3+1 + 1/z^3+x^3+1

Answer 1

Ta chứng minh bổ đề \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-xy\left(x+y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Rightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}=\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)

\(=\dfrac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{z}{x+y+z}\). Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{x}{x+y+z};\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(A\le\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)