a) Xét ΔABD vuông tại D và ΔACD vuông tại D có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AD là cạnh chung
Do đó: ΔABD=ΔACD(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒BD=CD(hai cạnh tương ứng)
b) Xét ΔHBD vuông tại H và ΔKCD vuông tại K có
BD=CD(cmt)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔHBD=ΔKCD(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒DH=DK(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: AH+HB=AB(H nằm giữa A và B)
AK+KC=AC(K nằm giữa A và C)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
và BH=KC(ΔHBD=ΔKCD)
nên AH=AK
Xét ΔAHK có AH=AK(cmt)
nên ΔAHK cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AHK}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy của ΔAHK cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{B}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy của ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AHK}=\widehat{B}\)
mà \(\widehat{AHK}\) và \(\widehat{B}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên HK//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
d) Ta có: BD+CD=BC=12cm(D nằm giữa B và C)
mà BD=CD(cmt)
nên \(BD=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABD vuông tại D, ta được
\(AB^2=BD^2+AD^2\)
hay \(AD^2=AB^2-BD^2=10^2-6^2=64\)
⇒\(AD=\sqrt{64}=8cm\)
Vậy: AD=8cm