Question

Giúp em bài này với ạ, em cần gấp lắm :((((

Cho đường tròn (O) nội tiếp hình thoi ABCD. Kẻ một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB , AD theo thứ tự ở E,F . Kẻ một tiếp tuyến khác với đường tròn (O) cắt cạnh CB,CD theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng: 

 a) BE* DF= OB* OD

b) EG song song với HF .

Answer 1

Gọi I là giao điểm của EG và HF. Theo định lí tiếp tuyến, ta có: $\angle{OBE} = \angle{OBF} = 90^\circ$ và $\angle{ODF} = \angle{ODG} = 90^\circ$. Vì $BE$ và $DF$ là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên $OE$ và $OF$ là phân giác của $\angle{BOD}$. Tương tự, $OG$ và $OH$ là phân giác của $\angle{BOD}$. Khi đó, ta có: $\angle{EOI} = \angle{FOI} = \angle{GOI} = \angle{HOI} = 90^\circ$. Do đó, $OEIF$ và $OFIG$ là các hình chữ nhật. Vì $OE = OF$ và $OG = OH$, nên $OEIF$ và $OFIG$ là các hình vuông. Từ đó, ta có: $BE = EF$ và $DG = GH$. Vì $ABCD$ là hình thoi, nên $AB = AD$ và $BC = CD$. Khi đó, ta có: $AB = AD = BE + EF = BE + DF$ và $BC = CD = DG + GH = EG + HF$. Từ đó, ta suy ra: $BE + DF = EG + HF$. Do đó, $BE.DF = EG.HF$. Từ định lí tiếp tuyến, ta có: $BE.DF = OB^2$ và $EG.HF = OG^2$. Vì $OB = OG$ (bán kính đường tròn (O)), nên ta có: $BE.DF = OB.OD$.

Vậy, ta đã chứng minh được a) BE.DF = OB.OD.

b) Ta có:

Gọi I là giao điểm của EG và HF. Theo chứng minh ở câu a), ta có: $OEIF$ và $OFIG$ là các hình vuông. Khi đó, ta có: $\angle{EOI} = \angle{FOI} = \angle{GOI} = \angle{HOI} = 90^\circ$. Do đó, ta có: $\angle{EOI} + \angle{FOI} + \angle{GOI} + \angle{HOI} = 360^\circ$. Từ đó, ta suy ra: $\angle{EOI} + \angle{FOI} + \angle{GOI} + \angle{HOI} = 360^\circ$. Vì $EG \parallel HF$, nên ta có: $\angle{EOI} + \angle{FOI} = 180^\circ$. Từ đó, ta suy ra: $\angle{GOI} + \angle{HOI} = 180^\circ$. Do đó, ta có: $\angle{GOI} = \angle{HOI}$. Vậy, ta đã chứng minh được b) EG // HF.