Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}\right)^2\)
\(\le\left(1+1\right)\left(2010-x+x-2008\right)\)
\(=2\cdot\left(2010-2008\right)=2\cdot2=4\)
\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\)
Lại có: \(VP=x^2-4018x+4036083\)
\(=x^2-4018x+4036081+2\)
\(=\left(x-2009\right)^2+2\ge2\)
Suy ra \(VT\le VP=2\) nên xảy ra khi
\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2009\right)^2+2=2\Rightarrow x=2009\)
Giải:
Phương trình:
\(\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}\) \(=x^2-4018x+4036083\) \((*)\)
ĐKXĐ: \(\begin{cases}2010-x \geq 0\\x-2008 \geq 0\end{cases} \) \(\Leftrightarrow2008\le x\le2010\)
Áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\) \(\forall a,b\) ta có:
\(\left(\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}\right)^2\) \(\le2\left(2010-x+x-2008\right)\) \(=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}\le2\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(x^2-4018x+4036083=\left(x-2009\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)
Từ \(\begin{cases}(1)\\(2)\end{cases} \) suy ra \((*)\) \(\Leftrightarrow VP=VT=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2009\right)^2=0\Leftrightarrow x-2009=0\Leftrightarrow x=2009\)
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là \(x=2009\)
