Question

giải hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2\\\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \((\sqrt{x-y},\sqrt{x+y})=(b,a)\)

HPT trở thành: \(\left\{\begin{matrix} a-b=2(1)\\ \sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}+ab=4(2)\end{matrix}\right.\)

\((2)\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}=4-ab\). Bình phương hai vế:
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}=16+a^2b^2-8ab\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2=32-16ab\)

\(\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2=32-16ab\Leftrightarrow 4(a+b)^2=32-16ab\) (do \(a-b=2\) )

\(\Leftrightarrow (a+b)^2=8-4ab\)

Thay \(a=b+2\Rightarrow (2b+2)^2=8-4b(b+2)\)

\(\Leftrightarrow (b+1)^2=2-b(b+2)\Leftrightarrow 2b^2+4b-1=0\)

\(\Rightarrow b=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\) (do \(b\geq 0\))

Từ đó kéo theo \(a=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\). Từ đây suy ra \((x,y)=(\frac{5}{2},\sqrt{6})\)