Question

Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy^2-xy-y^3=0\\2\left(x^2+1\right)-3\sqrt{x}\left(y+1\right)-y=0\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Xét pt thứ nhất: \(x^2+xy^2-xy-y^3=0\Leftrightarrow\left(x+y^2\right)\left(x-y\right)=0\)

Do \(x\ge0\) nên nếu \(x+y^2=0\) thì \(x=y=0\), thử vào pt thứ hai thấy không thỏa mãn.

Vậy \(x=y\), thay vào pt thứ hai:

\(2y^2-3y\sqrt{y}-y-3\sqrt{y}+2=0\)

Chia cả hai vế cho y ta được:

\(2\left(y+\frac{1}{y}\right)-3\left(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)-1=0\)

Đặt \(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}=a>0\)

Ta có: \(2a^2-3a-5=0\Leftrightarrow\left(2a-5\right)\left(a+1\right)=0\)

⇔ \(a=\frac{5}{2}\)

⇔ \(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{5}{2}\) ⇔

\(2y-5\sqrt{y}+2=0\Leftrightarrow\)\(\left(2\sqrt{y}-1\right)\left(\sqrt{y}-2\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x=y=4\\x=y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)