Question

Giải các phương trình sau:

a, \(\left(x-3\right)^2+x^4=-y^2+6y-4\)

b, \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}-x^2+4x-6=0\)

c, \(4+4x-x^2=|x-1|+|x-2|+|2x-3|+|4x-14|\)

d, \(x^2-2x+3=\sqrt{2x^2-x}+\sqrt{1+3x-3x^2}\)

Answer 1

Câu a:

Ta có:

\((x-3)^2+x^4=-y^2+6y-4\)

\(\Leftrightarrow (x-3)^2+x^4+y^2-6y+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-6x+9+y^2-6y+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-6x+4+(y^2-6y+9)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^4-2x^2+1)+3(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-1)^2+3(x-1)^2+(y-3)^2=0\)

\(\Rightarrow (x^2-1)^2=(x-1)^2=(y-3)^2=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy..........

Answer 2

Câu b:

ĐKXĐ: \(\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}\)

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}-x^2+4x-6=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=x^2-4x+6\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\text{VT}^2\leq (1+1)(2x-3+5-2x)=4\)

\(\Rightarrow \text{VT}\leq 2\)

Mà \(\text{VP}=x^2-4x+6=(x-2)^2+2\geq 2\)

Do đó để \(\text{VT}=\text{VP}\) thì \(\text{VT}=2=\text{VP}\)

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-3}=\sqrt{5-2x}\\ (x-2)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2\) (t/m)

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

Answer 3

Câu c:

Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:

\(\text{VP}\geq |(x-1)+(x-2)|+|2x-3|+|4x-14|=|2x-3|+|2x-3|+|2x-14|\)

\(=2(|2x-3|+|2x-7|)=2(|2x-3|+|7-2x|)\geq 2|2x-3+7-2x|=8\)

Và:

\(\text{VT}=4+4x-x^2=8-(x^2-4x+4)=8-(x-2)^2\leq 8\)

Do đó : \(\text{VT}\leq 8\leq \text{VP}\)

Dấu "=" xảy ra khi \((x-2)^2=0\Rightarrow x=2\)

Thử lại thấy đúng

Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=2$

Answer 4

Câu d:

ĐKXĐ:..........

\(x^2-2x+3=\sqrt{2x^2-x}+\sqrt{1+3x-3x^2}\)

Ta thấy: \(\text{VT}=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\geq 2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\text{VP}^2\leq (1+1)(2x^2-x+1+3x-3x^2)=2(-x^2+2x+1)=2[2-(x-1)^2]\leq 2.2=4\)

\(\Rightarrow \text{VP}\leq 2\)

Vậy \(\text{VT}\geq 2\geq \text{VP}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\text{VT}=2=\text{VP}\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Thử lại thấy đúng

Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1$